Question

9．已知函數$f（x）=x（\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}）$．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）求證：當x≠0時，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，利用函數的奇偶性的定義判斷即可．
（2）討論x大于0時，函數的表達式的值域范圍，然后利用函數的奇偶性推出結果即可．

解答 解：（1）由2^x-1≠0，得x≠0
∴f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），它關于原點對稱
∴$f（-x）=-x（\frac{1}{{{2^{-x}}-1}}+\frac{1}{2}）=-x（\frac{1}{{\frac{1}{2^x}-1}}+\frac{1}{2}）=-x（\frac{2^x}{{1-{2^x}}}+\frac{1}{2}）$=$-x（\frac{{{2^x}-1+1}}{{1-{2^x}}}+\frac{1}{2}）=-x（\frac{1}{{1-{2^x}}}-\frac{1}{2}）=x（\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}）=f（x）$
∴f（x）為偶函數．
（2）證明：當x＞0時，∴2^x＞1，∴2^x-1＞0
∴$\frac{1}{{{2^x}-1}}＞0$，∴$\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}＞\frac{1}{2}$
∴$f（x）=x（\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}）＞0$
又∵f（x）為偶函數，
∴當x＜0時，f（x）＞0
綜上可得：當x≠0時，f（x）＞0．

點評 本題考查函數的奇偶性的應用奇偶性的判斷，考查分析問題解決問題的能力．