Question

18．某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期內的圖象時，列表并填入部分數據，如表：
（1）請將上表數據補充完整，填寫在答題卡相應的位置，并求f（x）的解析式；
（2）將函數f（x）的圖象上每一點的縱坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍，橫坐標不變，得到函數g（x）的圖象．試求g（x）在區間[π，$\frac{5π}{2}$]上的最值．

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		2π			$\frac{13π}{2}$
f（x）	0	4		-4	0

Answer 1

分析 （1）根據表中數據求出A、T以及ω和φ的值，寫出f（x）的解析式，再補充表中數據；
（2）根據函數圖象變換寫出g（x）的解析式，求出它在區間[π，$\frac{5π}{2}$]上的最值即可．

解答 解：（1）根據表中數據得，A=4，
$\frac{3}{4}$T=$\frac{13π}{2}$-2π=$\frac{9π}{2}$，
所以T=6π=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{1}{3}$×$\frac{π}{2}$+φ=0，
解得φ=-$\frac{π}{6}$；
所以$f（x）=4sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）$，
補充表中數據為$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{2}$，5π和0；
（2）將函數f（x）的圖象上每一點的縱坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍，橫坐標不變，
得到函數g（x）的圖象，
所以$g（x）=2sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）$，
∵$π≤x≤\frac{5π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}≤\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}≤sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$1≤2sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）≤2$，
∴g（x）_max=2，g（x）_min=1．

點評 本題考查了三角函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的應用問題，也考查了圖象的變換問題，是基礎題目．