Question

3．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且滿足sinA+$\sqrt{3}$cosA=2．
（1）求A的大小；
（2）現給出三個條件①B=45°；②a=2；③c=$\sqrt{3}$b．試從中選出兩個可以確定△ABC的條件，寫出你的選擇并以此為依據求△ABC的面積．（注：只能寫出一個選定方案即可，選多種方案以第一種方案計分）

Answer 1

分析 （1）由sinA+$\sqrt{3}$cosA=2．利用和差公式即可得出．
（2）通過分類討論，利用正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）$sinA+\sqrt{3}cosA=2⇒2sin（A+\frac{π}{3}）⇒2⇒A+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，
∴$A=\frac{π}{6}$．
（2）選①②：$B=\frac{π}{4}$，$A=\frac{π}{6}$，a=2，$c=π-\frac{π}{6}-\frac{π}{4}=\frac{7π}{12}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}⇒\frac{2}{{\frac{1}{2}}}=\frac{b}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}⇒b=2\sqrt{2}$.${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$=$\sqrt{3}+1$．
選①③：b²+c²-2bccosA=a²，∴b²+3b²-3b²=4，解得b=2，c=2$\sqrt{3}$．
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$．
若選擇②③，由$c=\sqrt{3}b$得：$sinC=\sqrt{3}sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{2}＞1$，不成立，這樣的三角形不存在．

點評 本題考查了和差公式、正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．