Question

11．設p：關于x的方程x²-4x+2a=0在區(qū)間[0，5]上有兩相異實根；q：“至少存在一個實數(shù)x∈[1，2]，使不等式x²+2ax+2-a＞0成立”．若“￢p∧q”為真命題，參數(shù)a的取值范圍為（-3，0）∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 若“￢p∧q”為真命題，則p假q真，進而可得參數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令f（x）=x²-4x+2a，則函數(shù)的圖象開口朝上，且以直線x=2為對稱軸，
若關于x的方程x²-4x+2a=0在區(qū)間[0，5]上有兩相異實根；
則$\left\{\begin{array}{l}f（0）≥0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2a≥0\\ 2a-4＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈[0，2），
故命題p：a∈[0，2），
若至少存在一個實數(shù)x∈[1，2]，使不等式x²+2ax+2-a＞0成立，
則$\left\{\begin{array}{l}-a≥\frac{3}{2}\\ 1+2a+2-a＞0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-a＜\frac{3}{2}\\ 4+4a+2-a＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（-3，+∞），
故命題q：a∈（-3，+∞），
若“￢p∧q”為真命題，則p假q真，
故a∈（-3，0）∪[2，+∞），
故答案為：（-3，0）∪[2，+∞）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識點，難度中檔．