Question

1．某三棱錐的三視圖如圖所示，正視圖是邊長為3的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（　　）

• A． 12π
• B． $6\sqrt{3}π$
• C． 9π
• D． 18π

Answer 1

分析 根據題意得到該幾何體有一個側面PAC垂直于底面，高為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，如圖所示，這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，求出外接球的半徑，即可確定出表面積．

解答 解：由已知中正視圖是一個正三角形，側視圖和俯視圖均為三角形，
可得該幾何體是有一個側面PAC垂直于底面，高為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，如圖所示，
∴這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，
∴這個幾何體的外接球的半徑R=$\frac{2}{3}$PD=$\sqrt{3}$，
則幾何體的外接球的表面積為4πR²=12π．
故選A．

點評 此題考查了由三視圖求面積、體積，根據三視圖正確畫出幾何體是解本題的關鍵．