Question

12．已知關于x的不等式ax²-3x+2＞0．
（1）若不等式的解集為全體實數集R，求實數a的取值范圍；
（2）若不等式的解集為{x|x＜1或x＞b}，
①求a，b的值；
②解關于x的不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0．

Answer 1

分析 （1）根據不等式的解集為實數集R時$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，求不等式組的解集即可；
（2）①由不等式的解集與對應方程根的關系，列出方程求出a、b的值；
②根據題意把不等式化為（x-c）（x-2）＜0，討論c的取值，求出解集即可．

解答 解：關于x的不等式ax²-3x+2＞0；
（1）當不等式的解集為全體實數集R時，
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{9-8a＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{9}{8}$，
∴a的取值范圍是a＞$\frac{9}{8}$；
（2）①不等式的解集為{x|x＜1或x＞b}，
即方程ax²-3x+2=0的解是1和b（且b＞1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b=\frac{3}{a}}\\{1×b=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2；
②根據題意，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0可化為
x²-（c+2）x+2c＜0，
即（x-c）（x-2）＜0；
當c＞2時，不等式的解集為{x|2＜x＜c}，
當c=2時，不等式的解集為∅，
當c＜2時，不等式的解集為{x|c＜x＜2}．

點評 本題考查了一元二次不等式與對應方程解的應用問題，也考查了根與系數關系的應用問題，是綜合性題目．