Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且btanA，ctanB，btanB成等差數列，則角A的大小是$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 btanA，ctanB，btanB成等差數列，可得2ctanB=btanA+btanB，利用正弦定理化為cosA=$\frac{1}{2}$，因為由A∈（0，π），即可得出A=$\frac{π}{3}$．

解答 解：在△ABC中，∵btanA，ctanB，btanB成等差數列，
∴2ctanB=btanA+btanB，
∴2sinC•$\frac{sinB}{cosB}$=sinB•$\frac{sinA}{cosA}$+sinB•$\frac{sinB}{cosB}$，
化為sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，
∴sinC=2sinCcosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
故答案是：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了等差數列的性質、正弦定理、數量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．