Question

19．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是減函數，則a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是減函數，故每一段上函數均為減函數，且a＞f（1），利用導數法，可得a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是減函數，
∴0＜a＜1，
當x≥1時，f′（x）=1+lnx-2ax≤0，2a≥$\frac{1+lnx}{x}$，
設h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{-lnx}{x^2}$=0，解得：x=1，
故h（x）在x=1處取得最大值1，
故2a≥1，即a≥$\frac{1}{2}$，
又a＞f（1）=-a，
故a∈[$\frac{1}{2}$，1）．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，正確理解分段函數單調性的意義，是解答的關鍵．