Question

16．函數f（x）=x²-ax-1在區間（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上有零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 對函數類型及零點個數進行討論，列不等式解出．

解答 解：函數f（x）=x²-ax-1的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
當$\frac{1}{2}$a＜-$\frac{1}{2}$時，即a＜-1，函數f（x）在區間（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上單調遞增，
∴f（-$\frac{1}{2}$）＜0，且f（$\frac{1}{2}$）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a-1＜0}\\{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a-1＞0}\end{array}\right.$，
解得a＜-$\frac{3}{2}$，
當$\frac{1}{2}$a＞$\frac{1}{2}$時，即a＞1，函數f（x）在區間（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上單調遞減，
∴f（-$\frac{1}{2}$）＞0，且f（$\frac{1}{2}$）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a-1＞0}\\{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a-1＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{3}{2}$，
當函數由兩個零點時，$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{f（-\frac{1}{2}）≥0}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，此時無解
綜上所述a的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）
故選：C

點評 本題考查二次函數的性質、函數的零點存在的條件，考查轉化思想，屬于中檔題