Question

11．設命題p：函數f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R有極值；
命題q：3^x-9^x＜m對一切實數x恒成立．
如果命題“p∧q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 如果命題“p∧q”為假命題，則命題p為假，或命題q為假，進而得到實數m的取值范圍．

解答 解：若函數f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R有極值；
則函數f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{4}{3}$）的△=$4{m}^{2}-12（m+\frac{4}{3}）＞0$，
解得：m＜-1，或m＞4，
即命題p：m＜-1，或m＞4，
3^x-9^x＜m，即3^x-（3^x）²＜m，即t-t²＜m（t＞0），
即m＞$\frac{1}{2}$，
即命題q：m＞$\frac{1}{2}$，
果命題“p∧q”為假命題，
則命題p為假，或命題q為假，
即：-1≤m≤4，或m≤$\frac{1}{2}$，
即m≤4．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，利用導數研究函數的極值，函數恒成立問題等知識點，難度中檔．