Question

12．已知函數f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）當a=4求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若 x＞1 時，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，進而可得切線的斜率，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（2）令g（x）=f′（x），對g（x）求導，進而可判斷f′（x）的單調性，再分別對a≤2，a＞2兩種情況討論f（x）的單調性和最值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=4時，f（x）=（x+1）lnx-4x+4，
∴x＞0，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-3，
∴f′（1）=$\frac{1}{1}+ln1-3=-2$，又f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：
y-0=-2（x-1），即2x+y-2=0．
（2）令g（x）=${f}^{'}（x）=lnx+\frac{1}{x}+1-a$，
則${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0恒成立，
即f′（x）在（1，+∞）上單調遞增，f′（1）=2-a，
①當a≤2時，f′（1）≥0，故f（a）在（1，+∞）上單調遞增，且f（1）=0，此時a≤2符合題意；
②當a＞2時，由f（1）=0及f′（x）在（1，+∞）上單調遞增，知?x₀＞1，
使得f′（x₀）=0，即f（x₀）＜0，不符合題意，
綜上，a的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查切線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數的幾何意義和導數性質的合理運用．