Question

2．若函數(shù)y=f（x）的定義域為R，對于?x∈R，f'（x）＜e^x，且f（x+1）為偶函數(shù)，f（2）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)f（1+x）是定義域為R的偶函數(shù)求出函數(shù)f（x）的對稱軸，進而得到f（0）的值，再由f′（x）＜e^x可判斷函數(shù)g（x）=f（x）-e^x的單調(diào)性，將f（x）＜e^x轉(zhuǎn)化為f（x）-e^x＜0=g（0），最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（1+x）是定義域為R的偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，
∵f（2）=1，∴f（0）=1，
∵f′（x）＜e^x，
∴f′（x）-e^x＜0∴[f（x）-e^x]'＜0
令函數(shù)g（x）=f（x）-e^x，則函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減
且g（0）=f（0）-e⁰=1-1=0，
∵f（x）＜e^x，
∴g（x）=f（x）-e^x＜0=g（0）
∴x＞0
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)的對稱性、根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式．