Question

4．已知在二項式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，第6項為常數項．
（1）求n的值，并求含x²項的系數；
（2）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析 （1）利用通項公式即可得出．
（2）根據通項公式，由題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{10-2r}{3}∈Z\\ 0≤r≤10，r∈Z.\end{array}$，令$\frac{10-2r}{3}$=k（k∈Z），r=5-$\frac{3}{2}$k．對k取值即可得出．

解答 解：（1）通項公式為T_r+1=C_n^r${x}^{\frac{n-r}{3}}$（-$\frac{1}{2}$）^r${x}^{-\frac{r}{3}}$=C_n^r（-$\frac{1}{2}$）^rx${x}^{\frac{n-2r}{3}}$．
∵第6項為常數項，∴r=5時，有$\frac{n-2r}{3}$=0，即n=10．
令$\frac{n-2r}{3}$=2，得r=$\frac{1}{2}$（n-6）=2．
∴所求的x²項的系數為C₁₀²（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{45}{4}$．
（2）根據通項公式，由題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{10-2r}{3}∈Z\\ 0≤r≤10，r∈Z.\end{array}$，
令$\frac{10-2r}{3}$=k（k∈Z），則10-2r=3k，即r=5-$\frac{3}{2}$k．
∵r∈Z，∴k應為偶數．
∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8．
∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為C₁₀²（-$\frac{1}{2}$）²x²，C₁₀⁵（-$\frac{1}{2}$）⁵，C₁₀⁸（-$\frac{1}{2}$）⁸x^-2．

點評 本題考查了二項式定理的性質及其應用、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．