Question

14．已知命題p：“函數$f（x）={2^{{x^2}-2x}}+{m^2}-\frac{5m}{2}+\frac{1}{2}$在R上有零點”，命題q：函數f（x）=$\frac{2}{x-m}$在區間（1，+∞）內是減函數，若p∧q為真命題，則實數m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，根據若p∧q為真命題，取交集即可．

解答 解：函數$f（x）={2^{{x^2}-2x}}+{m^2}-\frac{5m}{2}+\frac{1}{2}$在R上有零點，
即-${2}^{{x}^{2}-2x}$=m²-$\frac{5m}{2}$+$\frac{1}{2}$有解，
令g（x）=-${2}^{{x}^{2}-2x}$≤-$\frac{1}{2}$，
故m²-$\frac{5m}{2}$+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{1}{2}$≤m≤2；
故p為真時：m∈[$\frac{1}{2}$，2]；
函數f（x）=$\frac{2}{x-m}$在區間（1，+∞）內是減函數，
則m≤1，
若p∧q為真命題，則p真q真，
故$\frac{1}{2}≤m≤1$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查指數函數以及二次函數的性質，是一道中檔題．