Question

3．已知函數f（x）=b+log_ax（x＞0且a≠1）的圖象經過點（8，2）和（1，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）[f（x）]²=3f（x），求實數x的值；
（3）令y=g（x）=2f（x+1）-f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b+log_a8=2，b+log_a1=-1，從而求解析式即可；
（2）[f（x）]²=3f（x），即f（x）=0或3，即可求實數x的值；
（3）化簡g（x）=2[log₂（x+1）-1]-（log₂x-1）=log₂（x+$\frac{1}{x}$+2）-1，從而利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由已知得，b+log_a8=2，b+log_a1=-1，（a＞0且a≠1），
解得a=2，b=-1；
故f（x）=log₂x-1（x＞0）；
（2）[f（x）]²=3f（x），即f（x）=0或3，
∴log₂x-1=0或3，
∴x=2或16；
（3）g（x）=2f（x+1）-f（x）
=2[log₂（x+1）-1]-（log₂x-1）=log₂（x+$\frac{1}{x}$+2）-1≥1，
當且僅當x=$\frac{1}{x}$，即x=1時，等號成立）．
于是，當x=1時，g（x）取得最小值1．

點評 本題考查了對數的運算及對數函數的應用，同時考查了基本不等式的應用．