Question

15．已知△ABC中，AC=1，$∠ABC=\frac{2π}{3}$，設∠BAC=x，記$f（x）=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$；
（1）求函數f（x）的解析式及定義域；
（2）試寫出函數f（x）的單調遞增區間，并求方程$f（x）=\frac{1}{6}$的解．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦定理、兩個向量的數量積公式、三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式．
（2）利用正弦函數的單調性求得f（x）的單調區間，并求出x的值．

解答 解：（1）由正弦定理有$\frac{BC}{sinx}$=$\frac{1}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{AD}{sin（\frac{π}{3}-x）}$
∴BC=$\frac{1}{sin\frac{2π}{3}}$•sinx，AB=$\frac{sin（\frac{π}{3}-x）}{sin\frac{2π}{3}}$，
∴$f（x）=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{4}{3}$sinx•sin（$\frac{π}{3}$-x）•$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）sinx=$\frac{1}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{6}$，
其定義域為（0，$\frac{π}{3}$）
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$）
∴遞增區間$（0，\frac{π}{6}]$，
∵方程$f（x）=\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{6}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，
解得$x=\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了正弦定理、數量積運算、三角形的內角和定理、正弦函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．