Question

7．如圖，已知半徑為1的扇形AOB，∠AOB=60°，P為弧$\widehat{AB}$上的一個動點，則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$取值范圍是[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 結合圖形，將$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$代入$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$進行數量積的運算，并代入∠BOP=60°-∠AOP進行化簡即可得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=sin（∠AOP-30°）$，這樣，根據0°≤∠AOP≤60°即可求出sin（∠AOP-30°）的范圍，即求出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$
=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$
=cos∠BOP-cos∠AOP
=cos（60°-∠AOP）-cos∠AOP
=$\frac{1}{2}cos∠AOP+\frac{\sqrt{3}}{2}sin∠AOP-cos∠AOP$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin∠AOP-\frac{1}{2}cos∠AOP$
=sin（∠AOP-30°）；
0°≤∠AOP≤60°；
∴-30°≤∠AOP-30°≤30°；
∴$-\frac{1}{2}≤sin（∠AOP-30°）≤\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍為$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
故答案為：[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．

點評 考查向量減法的幾何意義，向量數量積的運算及計算公式，兩角和差的正余弦公式，以及不等式的性質，熟悉正弦函數的圖象．