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7.如圖,已知半徑為1的扇形AOB,∠AOB=60°,P為弧$\widehat{AB}$上的一個動點,則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$取值范圍是[$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$].

分析 結合圖形,將$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$代入$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$進行數量積的運算,并代入∠BOP=60°-∠AOP進行化簡即可得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=sin(∠AOP-30°)$,這樣,根據0°≤∠AOP≤60°即可求出sin(∠AOP-30°)的范圍,即求出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍.

解答 解:$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OP}•(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$
=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$
=cos∠BOP-cos∠AOP
=cos(60°-∠AOP)-cos∠AOP
=$\frac{1}{2}cos∠AOP+\frac{\sqrt{3}}{2}sin∠AOP-cos∠AOP$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin∠AOP-\frac{1}{2}cos∠AOP$
=sin(∠AOP-30°);
0°≤∠AOP≤60°;
∴-30°≤∠AOP-30°≤30°;
∴$-\frac{1}{2}≤sin(∠AOP-30°)≤\frac{1}{2}$;
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍為$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.
故答案為:[$-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$].

點評 考查向量減法的幾何意義,向量數量積的運算及計算公式,兩角和差的正余弦公式,以及不等式的性質,熟悉正弦函數的圖象.

練習冊系列答案
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