Question

12．如圖，在Rt△AOB中，$∠OAB=\frac{π}{6}$，斜邊AB=4，D是AB中點，現將Rt△AOB以
直角邊AO為軸旋轉一周得到一個圓錐，點C為圓錐底面圓周上一點，且∠BOC=90°，
（1）求圓錐的側面積；
（2）求直線CD與平面BOC所成的角的大小；（用反三角函數表示）

Answer 1

分析 （1）由圓錐的側面積S_側=πrl，能求出結果．
（2）取OB的中點E，連結DE、CE，則DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直線CD與平面BOC所成的角，由此能求出直線CD與平面BOC所成角的大小．

解答 解：（1）∵在Rt△AOB中，$∠OAB=\frac{π}{6}$，斜邊AB=4，D是AB中點，
將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉一周得到一個圓錐，點C為圓錐底面圓周上一點，且∠BOC=90°，
∴圓錐的側面積S_側=πrl=2×4×π=8π．
（2）取OB的中點E，連結DE、CE，
則DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，
∴∠DCE是直線CD與平面BOC所成的角，
在Rt△DEC中，CE=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{3}$，
tan$∠DCE=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴$∠DCE=arctan\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直線CD與平面BOC所成角的大小為arctan$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查圓錐的側面積的求法，考查直線與平面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．