Question

2．參加成都七中數學選修課的同學，對某公司的一種產品銷量與價格進行了統計，得到如下數據和散點圖：

定價x（元/kg）	10	20	30	40	50	60
年銷量y（kg）	1150	643	424	262	165	86
z=2lny	14.1	12.9	12.1	11.1	10.2	8.9

（參考數據：$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x）}•（{y_i}-\overline y）=-34580$，$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x）}•（{z_i}-\overline z）=-175.5$$\sum_{i=1}^6{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=776840$，$\sum_{i=1}^6{（{y_i}-\overline y）}•（{z_i}-\overline z）=3465.2$）
（1）根據散點圖判斷，y與x，z與x哪一對具有較強的線性相關性（給出判斷即可，不必說明理由）？
（2）根據（1）的判斷結果及數據，建立y關于x的回歸方程（方程中的系數均保留兩位有效數字）．
（3）定價為多少元/kg時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數據（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n），其回歸直線$\widehat{y}$=$\widehat{b}$•x+$\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n•\stackrel{-2}{x}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-n•$\widehat{b}$•$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由散點圖可知：z與x具有較強的線性相關性；
（2）求得樣本中心點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），則$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{1}-\overline{x}）（{z}_{i}-\overline{z}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat{b}$•$\overline{x}$=15.05≈15，即可求得線性回歸方程，則；
（3）年利潤L（x）=x•$\widehat{z}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，求導，令L′（x）=0，即可求得年利潤L（x）的最大值．

解答 解：（1）由散點圖可知：z與x具有較強的線性相關性；
（2）由$\overline{x}$=$\frac{10+20+30+40+50+60}{6}$=35，$\overline{z}$=$\frac{14.1+12.9+12.1+11.1+10.2+8.9}{6}$=11.55，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{1}-\overline{x}）（{z}_{i}-\overline{z}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，
由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat{b}$•$\overline{x}$=15.05≈15，
$\widehat{z}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$=15-0.10x，
線性回歸方程為：$\widehat{z}$=15-0.10x，則y關于x的回歸方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，
∴y關于x的回歸方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$；
（3）年利潤L（x）=x•$\widehat{y}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，
求導L′（x）=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$•（1-x•$\frac{0.10}{2}$），
令導L′（x）=0，解得：x=20，
由函數的單調性可知：當x=20時，年利潤的預報值最大，
∴定價為20元/kg時，年利潤的預報值最大．

點評 本題考查線性回歸方程的應用，考查利用最小二乘法求線性回歸方程，考查利用導數求函數的單調性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．