Question

13．設a，b∈R，函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx+1$，g（x）=e^x（e為自然對數的底數），且函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在區間（-∞，0）內恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出兩個函數的導數，利用函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．列出方程即可求解b．
（Ⅱ）求出導函數f'（x）=，通過-1≤a≤1時，當a²＞1時，分別判斷導函數的符號，推出函數的單調區間．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，可得h（0）0．求出h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，求出導數u'（x）=e^x-2．當x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調遞減，求出$a=\frac{1}{2}$．考慮$a≤\frac{1}{2}$的情況，$a＞\frac{1}{2}$的情況，分別通過函數的單調性以及函數的最值，推出a的范圍即可．

解答 （Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，g'（x）=e^x，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，
當a²≤1時，即-1≤a≤1時，f'（x）≥0，從而函數f（x）在定義域內單調遞增，
當a²＞1時，$f'（x）=（{x+a+\sqrt{{a^2}-1}}）（{x+a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，此時
若$x∈（{-∞，-a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＞0，則函數f（x）單調遞增；
若$x∈（{-a-\sqrt{{a^2}-1}，-a+\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＜0，則函數f（x）單調遞減；
若$x∈（{-a+\sqrt{{a^2}-1}，+∞}）$時，f'（x）＞0，則函數f（x）單調遞增．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，則h（0）=e⁰-1=0．h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，則u'（x）=e^x-2．
當x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調遞減，
令u（0）=h'（0）=1-2a=0，得$a=\frac{1}{2}$．
先考慮$a≤\frac{1}{2}$的情況，此時，h'（0）=u（0）≥0；
又當x∈（-∞，0）時，h'（x）單調遞減，所以h'（x）＞0；
故當x∈（-∞，0）時，h（x）單調遞增；
又因為h（0）=0，故當x＜0時，h（x）＜0，
從而函數g（x）-f（x）在區間（-∞，0）內單調遞減；
又因為g（0）-f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在區間（-∞，0）恒成立．
接下來考慮$a＞\frac{1}{2}$的情況，此時，h'（0）＜0，
令x=-a，則h'（-a）=e^-a＞0．
由零點存在定理，存在x₀∈（-a，0）使得h'（x₀）=0，
當x∈（x₀，0）時，由h'（x）單調遞減可知h'（x）＜0，所以h（x）單調遞減，
又因為h（0）=0，故當x∈（x₀，0）時h（x）＞0．
從而函數g（x）-f（x）在區間（x₀，0）單調遞增；
又因為g（0）-f（0）=0，所以當x∈（x₀，0），g（x）＜f（x）．
綜上所述，若g（x）＞f（x）在區間（-∞，0）恒成立，則a的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]$．…（14分）

點評 本題主要考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創新意識，考查函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想．