Question

5．若函數$f（x）=\frac{x}{2}+ln\sqrt{x}$在某區間[a，b]上的值域為[ta，tb]，則t的取值范圍（$\frac{1}{2}$，$\frac{1+e}{2e}$）．

Answer 1

分析 由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{1}{2}lna=ta}\\{\frac{b}{2}+\frac{1}{2}lnb=tb}\end{array}\right.$，即$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx=tx$在（0，+∞）上有2個不等實數根，故函數y=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx$的圖象與函數y=tx的圖象在（0，+∞）上有兩個不同的交點．求得t的范圍．

解答 解：函數$f（x）=\frac{x}{2}+ln\sqrt{x}$在（0，+∞）為增函數，某區間[a，b]上的值域為[ta，tb]，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{1}{2}lna=ta}\\{\frac{b}{2}+\frac{1}{2}lnb=tb}\end{array}\right.$，即$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx=tx$，變形為$\frac{1}{2}lnx=x（t-\frac{1}{2}）$在（0，+∞）上有2個不等實數根，
故函數y=$\frac{1}{2}lnx$的圖象與函數y=（t-$\frac{1}{2}$）x的圖象在（0，+∞）上有兩個不同的交點，
∴t-$\frac{1}{2}$＞0，解得：t$＞\frac{1}{2}$
令F（x）=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx$-tx
則F′（x）=$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}-t$
令F′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2t-1}$
故當x=$\frac{1}{2t-1}$是函數y=$\frac{1}{2}lnx$的圖象與函數y=（t-$\frac{1}{2}$）x的圖象切點．
故得$（t-\frac{1}{2}）\frac{1}{2t-1}=\frac{1}{2}ln（\frac{1}{2t-1}）$，
解得：t=$\frac{1+e}{2e}$
故得t的取值范圍是$\frac{1}{2}＜t＜\frac{1+e}{2e}$．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{1+e}{2e}$）

點評 本題主要考查求函數的定義域和值域，構造函數的思想，屬于中檔題．