Question

20．曲線$y=lnx-\frac{2}{x}$在x=1處的切線的傾斜角為α，則cosα+sinα的值為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 通過函數的導數求出切線的斜率，求出切線的傾斜角的正切值，結合同角基本關系式，解方程，即可得到所求和．

解答 解：f（x）=lnx-$\frac{2}{x}$，
∴函數f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵y=f（x）在x=1處的切線的傾斜角為α，
∴tanα=3，0＜α＜$\frac{π}{2}$，即sinα=3cosα，
又sin²α+cos²α=1，
解得sinα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴cosα+sinα的值為$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查導數的幾何意義，考查切線方程，考查同角的三角函數的基本關系式，學生的計算能力，屬于基礎題．