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12.已知f(x)=|2x-1|+|5x-1|
(1)求f(x)>x+1的解集;
(2)若m=2-n,對?m,n∈(0,+∞),恒有$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}≥f(x)$成立,求實數x的范圍.

分析 (1)通過討論x的范圍,求出各個區間上的x的范圍,取交集即可;(2)根據基本不等式的性質求出x的范圍即可.

解答 解:(1)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-7x(x<\frac{1}{5})\\ 3x(\frac{1}{5}≤x≤\frac{1}{2})\\ 7x-2(x>\frac{1}{2})\end{array}\right.$,
故x>$\frac{1}{2}$時,7x-2>x+1,解得:x>$\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{5}$≤x≤$\frac{1}{2}$時,3x>x+1,解得:x>$\frac{1}{2}$,
x<$\frac{1}{5}$時,2-7x>x+1,解得:x<$\frac{1}{8}$,
故f(x)>x+1的解集為$(-∞,\frac{1}{8})∪(\frac{1}{2},+∞)$…(5分)
(2)因為$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=(\frac{1}{m}+\frac{4}{n})(m+n)•\frac{1}{2}≥\frac{9}{2}$,
當且僅當$m=\frac{2}{3},n=\frac{4}{3}$時等于號成立.
由$\frac{9}{2}≥f(x)$解得x的取值范圍為$(-\frac{5}{14},\frac{13}{14})$…(10分)

點評 本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式的性質以及分類討論思想,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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(1)若函數G(x)=f(1-x)+g(x)在區間(0,1)上遞增,求a的取值范圍;
(2)證明:$\sum_{k=1}^n{sin\frac{1}{{{{(1+k)}^2}}}<ln2}$;
(3)設F(x)=g-1(x)-mx2-2(x+1)+b(m<0),其中F(x)>0恒成立,求滿足條件的最小整數b的值.

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