Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acosB=bcosA．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）求$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理以及兩角差的正弦函數(shù)公式化簡已知可得sin（A-B）=0，結(jié)合A，B的范圍，可求A=B，可得△ABC是等腰三角形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得：$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$=$sin（{A+\frac{π}{3}}）$，由$0＜A＜\frac{π}{2}$，可求范圍$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由acosB=bcosA，
根據(jù)正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，即sin（A-B）=0，
在△ABC中，有-π＜A-B＜π，
所以A-B=0，即A=B，
所以△ABC是等腰三角形．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），A=B，則$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$=$sinA+（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA-\frac{1}{2}sinA}）$=$\frac{1}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA$=$sin（{A+\frac{π}{3}}）$．
因為A=B，所以$0＜A＜\frac{π}{2}$，則$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，
所以$-\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{3}}）≤1$，
于是$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$的取值范圍是$（\frac{1}{2}，1]$．…（12分）

點評 本題主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．