Question

9．已知函數f（x）=alnx-x（a＞0）．
（1）當a=2時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若不等式f（x）≤-1對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）問題轉化為alnx-x+1≤0對任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=alnx-x+1，（x＞0，a＞0），求出g（x）的最大值，得到關于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=2lnx-x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{2}{x}$-1=$\frac{2-x}{x}$，
故f（1）=-1，f′（1）=1，
故切線方程是：y+1=x-1，
即x-y-2=0；
（2）若不等式f（x）≤-1對任意x∈（0，+∞）恒成立，
則alnx-x+1≤0對任意x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=alnx-x+1，（x＞0，a＞0），
g′（x）=$\frac{a}{x}$-1=$\frac{a-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a，
令g′（x）＜0，解得：x＞a，
故g（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減，
故g（x）_max=g（a）=alna-a+1，
故alna-a+1=0，解得：a=1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．