Question

20．若實數x，y 滿足$\frac{1}{si{n}^{2}y}+\frac{1}{co{s}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，則$\frac{ta{n}^{2}y}{2x}$的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數平方關系式化簡，根據基本不等式的性質可得答案．

解答 解：滿足$\frac{1}{si{n}^{2}y}+\frac{1}{co{s}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，
可得：$\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{co{s}^{2}y}+\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{si{n}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，
∵$\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{co{s}^{2}y}+\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{si{n}^{2}y}$≥2+2=4，當且僅當sin²y=cos²y時取得等號，則tan²y=$\frac{si{n}^{2}y}{co{s}^{2}y}=1$．
∴2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$≥4
即x-e^x-1+2≥2．
∴x-e^x-1≥0．
當x=1時，可得取得等號．
∴則$\frac{ta{n}^{2}y}{2x}$=$\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的運算和指數冪的運算性質，基本不等式等號取得的情況．屬于中檔題．