Question

10．已知直線l與x軸不垂直，且直線l過點M（2，0）與拋物線y²=4x交于A，B兩點，則$\frac{1}{{{{|{AM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{BM}|}^2}}}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設出直線方程x=ky+2，代入拋物線方程消去x，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據韋達定理、弦長公式求得，計算|AM|，|BM|，進而可得$\frac{1}{{{{|{AM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{BM}|}^2}}}$的值．

解答 解：直線l：x=ky+2．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4ky-8=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-8．
AM²=（1+k²）y${{\;}_{1}}^{2}$，BM²=（1+k²）y${{\;}_{2}}^{2}$
則$\frac{1}{{{{|{AM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{BM}|}^2}}}$=$\frac{1}{1+{k}^{2}}（\frac{1}{{{y}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{y}_{2}}^{2}}）$=$\frac{1}{1+{k}^{2}}\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{k}^{2}}•\frac{16{k}^{2}+16}{64}=\frac{1}{4}$
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理、弦長公式的運用，屬于中檔題．