Question

2．如圖，△ABO是以∠O=120°為頂點的等腰三角形，點P在以AB為直徑的半圓內（包括邊界），若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x、y∈R），則x²+y²的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 兩邊平方，得出|OP|²關于x，y的表達式，根據|OP|的范圍得出不等式組，利用基本不等式的性質得出結論．

解答 解：設OA=OB=1，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-cos120°=-$\frac{1}{2}$，AB=$\sqrt{3}$，O到AB的距離為$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，∴${\overrightarrow{OP}}^{2}$=x²${\overrightarrow{OA}}^{2}$+y²${\overrightarrow{OB}}^{2}$+2xy$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x²+y²-xy，
∵P在以AB為直徑的半圓內（包括邊界），
∴$\frac{1}{2}$≤OP≤$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$≤x²+y²-xy≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由圖可知x＞0，y＞0，∴xy≤$\frac{1}{2}$（x²+y²），
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$（x²+y²）≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤x²+y²≤2+$\sqrt{3}$．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，2+$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，數量積運算，屬于中檔題．