Question

12．若關于x的不等式2x³+3x²-12x+4≤$\frac{4m{e}^{x}+2x}{{e}^{x}}$在[-2，+∞）上有解，則實數m 的最小值為（　　）

• A． -$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{e}$
• B． -$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2e}$
• C． -$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{e}$
• D． -$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2e}$

Answer 1

分析 分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最小值即可

解答 解：2x³+3x²-12x+4≤$\frac{4m{e}^{x}+2x}{{e}^{x}}$在[-2，+∞]上有解，
∴4m≥2x³+3x²-12x+4-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
設f（x）=2x³+3x²-12x+4-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=6x²+6x-12+2×$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
故當x∈[-2，1）時，f′（x）＜0，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在[-2，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∴f（x）min=f（1）=2+3-12+4-$\frac{2}{e}$=-3-$\frac{2}{e}$，
∴m≥-$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2e}$，
故選：B

點評 本題考查了不等式的化簡與應用，同時考查了導數的綜合應用及存在性問題的應用．