Question

10．已知函數y=x²的圖象在點$（{{x_0}，{x_0}^2}）$處的切線為m，若m也與函數y=lnx，x∈（0，1]的圖象相切，則x₀必滿足（　　）

• A． $0＜{x_0}＜\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}＜{x_0}＜1$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜{x_0}＜\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}＜{x_0}＜\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出函數y=x²的導數，y=lnx的導數，求出切線的斜率，切線的方程，可得2x₀=$\frac{1}{m}$，lnm-1=-x₀²，再由零點存在定理，即可得到所求范圍．

解答 解：函數y=x²的導數為y′=2x，
在點（x₀，x₀²）處的切線的斜率為k=2x₀，
切線方程為y-x₀²=2x₀（x-x₀），
設切線與y=lnx相切的切點為（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的導數為y′=$\frac{1}{x}$，
可得2x₀=$\frac{1}{m}$，切線方程為y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），
令x=0，可得y=lnm-1=-x₀²，
由0＜m＜1，可得x₀＞$\frac{1}{2}$，且x₀²＞1，
解得x₀＞1，
由m=$\frac{1}{2{x}_{0}}$，可得x₀²-ln（2x₀）-1=0，
令f（x）=x²-ln（2x）-1，x＞1，
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在x＞1遞增，
且f（$\sqrt{2}$）=2-ln2$\sqrt{2}$-1＜0，f（$\sqrt{3}$）=3-ln2$\sqrt{3}$-1＞0，
則有x₀²-ln（2x₀）-1=0的根x₀∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故選：D．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間，考查函數方程的轉化思想，以及函數零點存在定理的運用，屬于中檔題．