Question

18．如圖，已知三棱錐O-ABC的三條側棱OA，OB，OC兩兩垂直，△ABC為等邊三角形，M為△ABC內部一點，點P在OM的延長線上，且PA=PB．
（Ⅰ）證明：OA=OB；
（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面POC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由OA，OB，OC兩兩垂直，結合勾股定理可得OA²+OC²=OB²+OC² ，再由AC=BC，即可得到OA=OB；
（Ⅱ）由OA，OB，OC兩兩垂直，可得OC⊥平面OAB，則OC⊥AB．取AB的中點D，連接OD、PD，可得OD⊥AB，PD⊥AB，則AB⊥平面POD．得到AB⊥PO．由線面垂直的判定可得AB⊥平面POC．進一步得到平面PAB⊥平面POC．

解答 證明：（Ⅰ）∵OA，OB，OC兩兩垂直，
∴OA²+OC²=AC²，OB²+OC²=BC² ，
又△ABC為等邊三角形，AC=BC，
OA²+OC²=OB²+OC² ，
故OA=OB；
（Ⅱ）∵OA，OB，OC兩兩垂直，
∴OC⊥平面OAB，又AB?平面OAB，
∴OC⊥AB．
取AB的中點D，連接OD、PD，
∵OA=OB，PA=PB，
∴OD⊥AB，PD⊥AB，又OD∩PD=D，
∴AB⊥平面POD．
∴AB⊥PO．
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面POC．
∵AB?平面PAB，平面PAB⊥平面POC．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，考查了面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．