Question

7．已知x、y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{{x^2}-y≤0}\end{array}}\right.$，則$z=-\frac{1}{2}x+y$的取值范圍是$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，聯立直線方程與拋物線方程，化為關于x的一元二次方程，利用判別式為0求得目標函數最小值；數形結合得到使目標函數取得最大值的最優解，把最優解的坐標代入目標函數求得最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{{x^2}-y≤0}\end{array}}\right.$作出可行域，

化目標函數為y=$\frac{1}{2}x+z$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+z}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，得2x²-x-2z=0．
由△=1+16z=0，得z=$-\frac{1}{16}$．
由圖可知，當直線y=$\frac{1}{2}x+z$過A（1，1）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{1}{2}$．
∴$z=-\frac{1}{2}x+y$的取值范圍是：$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．
故答案為：$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．