Question

13．已知函數f（x）=x+（1-a）lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≤2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間；（2）通過討論a的范圍，得到關于a的不等式，結合函數的單調性求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=x+（1-a）lnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{a-1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x+1）}{{x}^{2}}$，
①a≤0時，f′（x）≥0，f（x）遞增；
②a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（2）由題意得：函數f（x）在[1，e]上的最小值是f（x）_min≤2，
由（1）得①a≥e時，f（x）在[1，e]遞減，
∴[f（x）]_min=f（e）=e+1-a+$\frac{a}{e}$≤2，解得：a≥e，
②a≤1時，f（x）在[1，e]遞增，
∴[f（x）]_min=f（1）=1+a≤2，解得：a≤1；
③1＜a＜e時，f（x）在（1，a）遞減，在（a，e）遞增，
∴[f（x）]_min=f（a）=a+）1-a）lna+1≤2，無解；
綜上，a的范圍是（-∞，1]∪[e，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．