Question

6．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{b}$與（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）的夾角為30°，則|$\overrightarrow{b}$|最大值為4．

Answer 1

分析 由題意畫出以|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|為鄰邊做平行四邊形ABCD，然后利用正弦定理求解．

解答 解：以|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|為鄰邊做平行四邊形ABCD，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，
則$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，由題意∠ADB=30°，設∠ABD=θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，
∴在△ABD中，由正弦定理可得，$\frac{AB}{sin30°}$=$\frac{AD}{sinθ}$，
∴AD=4sinθ≤4．
即|$\overrightarrow{b}$|的最大值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則的應用，考查三角形中正弦定理的應用，是中檔題．