Question

16．已知${\vec e_1}$，${\vec e_2}$是同一平面內兩個單位向量，其夾角為60°，如果$\vec a$=2${\vec e_1}$+${\vec e_2}$，$\overrightarrow b$=-3${\vec e_1}$+2${\vec e_2}$．
（1）求$\vec a•\vec b$
（2）求$\vec a$與$\vec b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）由已知$\vec a$=2${\vec e_1}$+${\vec e_2}$，$\overrightarrow b$=-3${\vec e_1}$+2${\vec e_2}$，直接展開$\vec a•\vec b$得答案；
（2）求出$|\overrightarrow{a}|$、$|\overrightarrow{b}|$的值，結合（1）中求出的$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入數量積求夾角公式得答案．

解答 解：（1）由已知得$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{1}{2}$．
∵$\vec a$=2${\vec e_1}$+${\vec e_2}$，$\overrightarrow b$=-3${\vec e_1}$+2${\vec e_2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（2${\vec e_1}$+${\vec e_2}$）•（-3${\vec e_1}$+2${\vec e_2}$）=-6${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=-6+1×$1×\frac{1}{2}$+2=$-\frac{7}{2}$；
（2）$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{4+4×1×1×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{7}$．
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{9-12×1×1×\frac{1}{2}+4}=\sqrt{7}$．
設$\vec a$與$\vec b$的夾角為θ（0≤θ≤180°），則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=-\frac{1}{2}$．
∴θ=120°．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查由數量積求斜率的夾角，是中檔題．