Question

5．已知$cos（x+\frac{π}{4}）=\frac{7}{25}$，x∈（0，π），則sinx=$\frac{{17\sqrt{2}}}{50}$．

Answer 1

分析 由已知求得$x+\frac{π}{4}$的范圍，進一步求出sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，再由sinx=sin[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]展開兩角差的正弦得答案．

解答 解：∵x∈（0，π），∴$x+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}$），
又$cos（x+\frac{π}{4}）=\frac{7}{25}$，∴$x+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）．
則sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（x+\frac{π}{4}）}=\sqrt{1-（\frac{7}{25}）^{2}}=\frac{24}{25}$．
∴sinx=sin[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
故答案為：$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

點評 本題考查三角函數的化簡求值，關鍵是“拆角配角”思想的應用，是中檔題．