Question

6．正三棱錐的底面邊長為2，三條側棱兩兩互相垂直，則此棱錐的體積為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意知該正三棱錐是正方體的一個角，且這個正方體的面對角線長為2，棱長為$\sqrt{2}$，由此能求出此棱錐的體積．

解答 解：如圖，∵正三棱錐的底面邊長為2，三條側棱兩兩互相垂直，
∴該正三棱錐是正方體的一個角S-ABC，且AB=AC=BC=2，
∴SA=SB=SC=$\sqrt{2}$，
∴此棱錐的體積：
V_S-ABC=V_B-ACS
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACS}×SB$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×SA×SC×SB$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查正三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．