Question

11．已知函數f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0），且f（a²-4）=f（2a-8），則$\frac{{f（n）-{n^2}-a}}{{n-2\sqrt{2}}}（n∈{N^*}）$的最大值為（　　）

• A． $48+32\sqrt{2}$
• B． $10+5\sqrt{2}$
• C． $96+64\sqrt{2}$
• D． $-6-6\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的對稱軸，由題意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），解得a的值，取負的，化簡可得f（x）的解析式，即有f（n），代入由基本不等式，注意n為正整數，計算即可得到所求最小值．

解答 解：函數f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0）的對稱軸為x=-$\frac{a+8}{2}$，
由題意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），解得a=1或a=-4，
由a＜0，可得a=-4，f（x）=x²+4x，即有f（n）=n²+4n，
∴$\frac{f（n）-{n}^{2}-a}{n-2\sqrt{2}}=\frac{4n+4}{n-2\sqrt{2}}=4+\frac{4+8\sqrt{2}}{n-2\sqrt{2}}$，
函數h（n）=$\frac{8\sqrt{2}+4}{n-2\sqrt{2}}$在[3，+∞），[1，2]遞減，
∴n=3時，$\frac{{f（n）-{n^2}-a}}{{n-2\sqrt{2}}}（n∈{N^*}）$有最大值為48+32$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查二次函數解析式的求法，注意運用對稱性，考查基本不等式的運用，注意等號成立的條件，考查運算能力，屬中檔題．