Question

3．已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，且滿足（2b-a）•cosC=c•cosA．
（I）求角C的大�。�
（II）求sinA+sinB的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理以及和與差的公式化簡即可得角C的大��；
（II）利用三角形內角和定理和輔助角公式化簡，根據三角函數的有界性可得最大值．可得A和B的關系，即可判斷此時△ABC的形狀．

解答 解：（I）∵（2b-a）•cosC=c•cosA
由正弦定理，得：（2sinB-sinA）•cosC=sinA•cosA
即：2sinBcosC=sinA•cosC+sinA•cosC
2sinBcosC=sin（A+C）=sinB．（sinB＞0），
∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）由（I）可知，C=$\frac{π}{3}$，
∴$B=\frac{2π}{3}-A$．
$\begin{array}{l}∴sinA+sinB=sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA\\=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）\end{array}$
當A=$\frac{π}{3}$時，sinA+sinB取得最大值．
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$．
故得ABC為正三角形．

點評 本題考查了正弦定理以及和與差的公式，輔助角公式的化簡和運用能力．屬于基礎題．