Question

12．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）證明數列{a_n+1}為等比數列；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=a₁，$\frac{b_n}{a_n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$．
①求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
②求證：$（1+{b_1}）（1+{b_2}）•…•（1+{b_n}）＜\frac{10}{3}{b_1}•{b_2}•…•{b_n}（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），可得數列{a_n+1}是以2為首項，公比為2的等比數列．
（2）①由已知可得$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}=\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n}}$，即可得b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1得值； ②由①知$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}，（n≥2）$，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3．
$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}•\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}•\frac{{b}_{3}+1}{{b}_{3}}…\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}•\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{2}}•\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{3}}…\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}}•{b}_{n+1}$=$\frac{1}{{b}_{1}}•\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}…\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}•{b}_{n+1}$=2$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}=2（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}）$ 即可證得$（1+{b_1}）（1+{b_2}）•…•（1+{b_n}）＜\frac{10}{3}{b_1}•{b_2}•…•{b_n}（n∈{N^*}）$．

解答 解：（1）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1）．
⇒$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，
∴數列{a_n+1}是以2為首項，公比為2的等比數列．
（2）由（1）得數列{a_n+1}是以2為首項，公比為2的等比數列．
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，⇒${a}_{n}={2}^{n}-1$
①，$\frac{b_n}{a_n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$…①．
$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+..+\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n}}$…③
②-①得$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}=\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n}}$⇒b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2）
當n=1時，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，∴b₂a₁-a₂（b₁+1）=-3．
②由①知$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}，（n≥2）$，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3．
∴$（\frac{1}{{b}_{1}}+1）（\frac{1}{{b}_{2}+1}）…（\frac{1}{{b}_{n}}+1）$=$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}•\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}•\frac{{b}_{3}+1}{{b}_{3}}…\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}•\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{2}}•\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{3}}…\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}}•{b}_{n+1}$
=$\frac{1}{{b}_{1}}•\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}…\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}•{b}_{n+1}$=2$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}=2（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}）$
∵k≥2時，$\frac{1}{{2}^{k}-1}＜2（\frac{1}{{2}^{k}-1}-\frac{1}{{2}^{k+1}-1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}＜1+\frac{1}{2}+2$[（$\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）]
=1+2（$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）$＜\frac{5}{3}$
∴$（\frac{1}{{b}_{1}}+1）（\frac{1}{{b}_{2}+1}）…（\frac{1}{{b}_{n}}+1）$═2$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}=2（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}）$$＜\frac{10}{3}$
∴$（1+{b_1}）（1+{b_2}）•…•（1+{b_n}）＜\frac{10}{3}{b_1}•{b_2}•…•{b_n}（n∈{N^*}）$．

點評 本題考查了利用數列遞推式求通項的方法，考查了數列與不等式，考查了計算能力，屬于中檔題．