Question

18．已知函數f（x）=xlnx-mx²有兩個極值點，則實數m的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先求導函數，函數f（x）=x（lnx-mx）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2mx+1有兩個零點，等價于函數y=lnx與y=2mx-1的圖象由兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象．由圖可求得實數m的取值范圍．

解答 解：由題意，y′=lnx+1-2mx
令f′（x）=lnx-2mx+1=0得lnx=2mx-1，
函數y=xlnx-mx²有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2mx+1有兩個零點，
等價于函數y=lnx與y=2mx-1的圖象有兩個交點，
，
當m=$\frac{1}{2}$時，直線y=2mx-1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當0＜m＜$\frac{1}{2}$時，y=lnx與y=2mx-1的圖象有兩個交點，
則實數m的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查函數的零點以及數形結合方法，數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．