Question

16．隨著生活水平的提高，人們對空氣質量的要求越來越高，某機構為了解公眾對“車輛限行”的態度，隨機抽查50人，并將調查情況進行整理后制成如表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，60）
頻數	10	10	10	10	10
贊成人數	3	5	6	7	9

（1）世界聯合國衛生組織規定：[15，45）歲為青年，（45，60）為中年，根據以上統計數據填寫以下2×2列聯表：

	青年人	中年人	合計
不贊成	16	4	20
贊成	14	16	30
合計	30	20	50

（2）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為贊成“車柄限行”與年齡有關？
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d
獨立檢驗臨界值表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

（3）若從年齡[15，25），[25，35）的被調查中各隨機選取1人進行調查，設選中的兩人中持不贊成“車輛限行”態度的人員為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根據題目中的數據，填寫列聯表即可；
（2）由（1）表中數據計算觀測值，對照臨界值得出結論；
（3）根據題意知ξ的可能取值，求出對應的概率值，
寫出隨機變量ξ的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）根據題目中的數據，填寫列聯表如下；

	青年人	中年人	合計
不贊成	16	4	20
贊成	14	16	30
合計	30	20	50

（2）由（1）表中數據計算得
${K^2}=\frac{{50×{{（{16×16-4×14}）}^2}}}{20×30×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞3.841$，
對照臨界值得P（K²≥3.841）≈0.05，
因此，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為贊成“車輛限行”與年齡有關；
（3）根據題意，ξ的可能取值為0，1，2；
計算$P（{ξ=0}）=\frac{3}{10}×\frac{5}{10}=\frac{3}{20}，P（{ξ=1}）=\frac{3}{10}×\frac{5}{10}+\frac{7}{10}×\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{7}{10}×\frac{5}{10}=\frac{7}{20}$，
所以隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{7}{20}$

所以數學期望為$Eξ=0×\frac{3}{20}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{7}{20}=\frac{24}{20}=1.2$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列和數學期望問題，是中檔題．