Question

5．已知經銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售出的商品，每1噸虧損0.3萬元．根據往年的銷售經驗，得到一個銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示．已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品．現以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個銷售季度的市場需求量，T（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內經銷該商品獲得的利潤．
（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內市場需求量x的平均數與中位數的大小；
（Ⅱ）根據直方圖估計利潤T不少于57萬元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據頻率分布直方圖計算平均數與中位數即可；
（Ⅱ）寫出利潤函數T（x），利用函數求利潤T不少于57萬元的x取值，
計算對應的頻率值即為概率估計值．

解答 解：（Ⅰ）估計一個銷售季度內市場需求量x的平均數為
$\overline x=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5$（噸）；…（2分）
由頻率分布直方圖易知，由于x∈[100，120）時，對應的頻率為
（0.01+0.02）×10=0.3＜0.5，
而x∈[100，130）時，對應的頻率為
（0.01+0.02+0.3）×10=0.6＞0.5，
因此一個銷售季度內市場需求量x的中位數應屬于區間[120，130），…（3分）
于是估計中位數應為120+（0.5-0.1-0.2）÷0.03≈126.7（噸）；…（5分）
（Ⅱ）當x∈[100，130）時，T=0.5x-0.3（130-x）=0.8x-39；…（6分）
當x∈[130，150]時，T=0.5×130=65，…（8分）
所以，T=$\left\{\begin{array}{l}{0.8x-39，100≤x＜130}\\{65，130≤x≤150}\end{array}\right.$，…（9分）
根據頻率分布直方圖以及（Ⅰ）知，
當x∈[100，130）時，由T=0.8x-39≥57，解得120≤x＜130，…（10分）
當x∈[130，150]時，由T=65≥57，
所以，利潤T不少于57萬元當且僅當120≤x≤150，…（11分）
于是由頻率分布直方圖可知市場需求x∈[120，150]的頻率為
（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，
所以下一個銷售季度的利潤T不少于57萬元的概率估計值為0.7…（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖以及平均數、中位數的計算問題，也考查了利用頻率估計概率的應用問題，是中檔題．