Question

14．求函數(shù)$f（x）=2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinx•cosx+1\;（x∈R）$的值域，最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinx•cosx+1\;（x∈R）$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+2=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
∵sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，4]．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．