Question

15．已知數列{a_n+81}是公比為3的等比數列，其中a₁=-78，則數列{|a_n|}的前100項和為（　　）

• A． $\frac{{{3^{101}}-16203}}{2}$
• B． $\frac{{{3^{100}}-15387}}{2}$
• C． $\frac{{{3^{101}}-15387}}{2}$
• D． $\frac{{{3^{100}}-16203}}{2}$

Answer 1

分析 數列{a_n+81}是公比為3的等比數列，其中a₁=-78，k可得a_n+81=3×3^n-1，可得a_n=3ⁿ-81．n≤4時，a_n≤0，n≥5時，a_n＞0．因此數列{|a_n|}的前100項和=81-3+81-9+81-27+0+（3⁵-81）+（3⁶-81）+…+（3¹⁰⁰-81），再利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：∵數列{a_n+81}是公比為3的等比數列，其中a₁=-78，
∴a_n+81=3×3^n-1，可得a_n=3ⁿ-81．
n≤4時，a_n≤0，n≥5時，a_n＞0．
則數列{|a_n|}的前100項和=81-3+81-9+81-27+0+（3⁵-81）+（3⁶-81）+…+（3¹⁰⁰-81）
=204+$\frac{243（{3}^{96}-1）}{3-1}$-81×（100-4）
=$\frac{{3}^{101}-15387}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、法分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．