Question

6．已知數列{a_n}為公差不為0的等差數列，滿足a₁=5，且a₂，a₉，a₃₀成等比數列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=a_n（n∈N^*），且b₁=$\frac{1}{3}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），由a₂，a₉，a₃₀成等比數列可知$（{{a_1}+d}）（{{a_1}+29d}）={（{{a_1}+8d}）^2}$，又a₁=5，解得d即可得出．
（2）由數列{b_n}滿足$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=a_n（n∈N^*），可得：$\frac{1}{_{n}}-\frac{1}{_{n-1}}$=a_n-1（n≥2）．且b₁=$\frac{1}{3}$，
當n≥2時，$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{_{1}}$+$（\frac{1}{_{2}}-\frac{1}{_{1}}）$+…+$（\frac{1}{_{n}}-\frac{1}{_{n-1}}）$=3+a₁+a₂+…+a_n-1，利用等差數列的求和公式即可得出$\frac{1}{_{n}}$=n（n+2）．可得b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），
由a₂，a₉，a₃₀成等比數列可知$（{{a_1}+d}）（{{a_1}+29d}）={（{{a_1}+8d}）^2}$，
又a₁=5，解得d=2，∴a_n=2n+3．
（2）由數列{b_n}滿足$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=a_n（n∈N^*），可得：$\frac{1}{_{n}}-\frac{1}{_{n-1}}$=a_n-1（n≥2）．且b₁=$\frac{1}{3}$，
當n≥2時，$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{_{1}}$+$（\frac{1}{_{2}}-\frac{1}{_{1}}）$+…+$（\frac{1}{_{n}}-\frac{1}{_{n-1}}）$
=3+a₁+a₂+…+a_n-1=3+$\frac{（n-1）（2n+6）}{2}$=n（n+2）．
對b₁=$\frac{1}{3}$上式也成立，∴$\frac{1}{_{n}}$=n（n+2）．
∴b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．