Question

10．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BB₁，CD的中點(diǎn)，求證D₁F⊥平面ADE．

Answer 1

分析 不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量數(shù)量積為0，證明線線垂直，從而證明線面垂直．

解答 證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則$\overrightarrow{AD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{{D_1}F}=（0，\frac{1}{2}，-1）$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{D_1}F}=（-1，0，0）•（0，\frac{1}{2}，-1）=0$，∴D₁F⊥AD，
又$\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{D_1}F}=（0，1，\frac{1}{2}）•（0，\frac{1}{2}，-1）=0$，
∴D₁F⊥AE，AD∩AE=A，所以，D₁F⊥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面位置關(guān)系，考查了向量法證明線面垂直，屬于中檔題．