Question

5．設函數f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax．
（I）若f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，且x₁x₂=1，求實數a的值；
（II）是否存在實數a，使得f（x）是R上的單調函數？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，由題意可知導函數有兩個零點x₁，x₂，利用根與系數的關系結合x₁•x₂=1求得a值；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，導函數為二次項系數大于0的二次函數，若f（x）是R上的單調函數，則導函數在實數集上大于等于0恒成立，轉化為△小于等于求解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax，
f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a．
∵f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，且x₁•x₂=1，
∴方程18x²+6（a+2）x+2a=0的兩根為x₁，x₂，且x₁•x₂=1，
∴$\frac{2a}{18}=1$，得a=9；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a．
若存在實數a，使得f（x）是R上的單調函數，
則f′（x）≥0，即18x²+6（a+2）x+2a≥0．
∴△=36（a+2）²-4×18×2a≤0，
即36a²+144≤0，此時顯然不成立．
∴不存在實數a，使得f（x）是R上的單調函數．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的極值點與導函數零點間的關系的應用，是中檔題．