Question

20．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，過P（2，0）且傾斜角為30°的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)
（1）寫出直線l的參數(shù)方程．
（2）求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
（2）易知傾斜角為30°的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，A、B在異支，把直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．代入${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$得：$2{t}^{2}+6\sqrt{3}t+9=0$，⇒${t}_{1}+{t}_{2}=-3\sqrt{3}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{9}{2}$，|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=3．

解答 解：（1）過P（2，0）且傾斜角為30°的直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
（2）∵雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的漸近線為y=$\sqrt{3}$x，其傾斜角為60⁰
∴傾斜角為30°的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，A、B在異支．
把直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．代入${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$得：
$2{t}^{2}+6\sqrt{3}t+9=0$，⇒${t}_{1}+{t}_{2}=-3\sqrt{3}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{9}{2}$，
$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}=（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}$=（-3$\sqrt{3}）^{2}$²-4×$\frac{9}{2}=9$．
|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=3．

點(diǎn)評 本題考查了直線的參數(shù)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題時要注意參數(shù)的本質(zhì)含義，屬于中檔題．