Question

12．將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中（每個盒子容納的小球的個數沒有限制），則1號盒子中小球的個數ξ的期望為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中，每個小球有4種不同的放法，共有4³種；
1號盒子中小球的個數ξ的可能取值為0，1，2，3；求出對應的概率值，
寫出隨機變量ξ的分布列，計算數學期望值．

解答 解：將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中，
每個小球有4種不同的放法，共有4³=64種；
則1號盒子中小球的個數ξ的可能取值為0，1，2，3；
且P（ξ=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•3}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}•3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•3}^{0}}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$；
則隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

數學期望為E（ξ）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的應用問題，是中檔題．